Guia De Onda

Una guía de onda es un tubo conductor a través del cual se transmite la energía en la forma de ondas electromagnéticas. El tubo actúa como un contenedor que confina las ondas en un espacio cerrado. El efecto de [Faraday] atrapa cualquier campo electromagnético fuera de la guía.

Propagación

Los campos electromagnéticos son propagados a través de la guía de onda por medio de reflexiones en sus paredes internas, que son consideradas perfectamente conductoras. La intensidad de los campos es máxima en el centro a lo largo de la dimensión X, y debe disminuir a cero al llegar a las paredes, porque la existencia de cualquier campo paralelo a las mismas en su superficie causaría una corriente infinita en un conductor perfecto. Las guías de ondas, por supuesto, no pueden transportar la RF de esta forma. En la siguiente figura pueden verse las dimensiones X, Y, y Z de una guía de ondas rectangular.




Algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de ondas electromagnéticas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante el confinamiento de estas ondas en cables o guías. En SHF, banda de frecuencia donde se encuentran las microondas, las líneas de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que introducen mucha perdida al voltaje y corriente de super alta frecuencia que viaja por ellos, impidiendo que la microonda llegue a su destino con un nivel de potencia apropiado para que la información que transporta pueda ser extraída sin errores.
Mientras que en las líneas de transmisión (coaxiales por ejemplo) lo que viaja por ellos es un voltaje y una corriente de alta o muy alta frecuencia, por las guías de onda lo que viaja es un campo electromagnético cuya longitud de onda se encuentra en el orden de las microondas.
La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.
Este nombre, se utiliza para designar los tubos de un material de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la energía electromagnética ha de ser conducida principalmente a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión, debido a la ley de Snell en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación.
En las guías, los campos eléctricos y los campos magnéticos están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.

Las guías de onda electromagnéticas se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones tienen soluciones múltiples, o modos, que son los autofunciones del sistema de ecuaciones. Cada modo es pues caracterizado por un autovalor, que corresponde a la velocidad de propagación axial de la onda en la guía.
Los modos de propagación dependen de la longitud de onda, de la polarización y de las dimensiones de la guía. El modo longitudinal de una guía de onda es un tipo particular de onda estacionaria formado por ondas confinadas en la cavidad. Los modos transversales se clasifican en tipos distintos:

• Modo TE (Transversal eléctrico), la componente del campo eléctrico en la dirección de propagación es nula.
• Modo TM (Transversal magnético), la componente del campo magnético en la dirección de propagación es nula.
• Modo TEM (Transversal electromagnético), la componente tanto del campo eléctrico como del magnético en la dirección de propagación es nula.
• Modo híbrido, son los que sí tienen componente en la dirección de propagación tanto en el campo eléctrico como en el magnético.

En guías de onda rectangulares el modo fundamental es el TE_1,0 y en guías de onda circulares es el TE_1,1.
El ancho de banda de una guía de onda viene limitado por la aparición de modos superiores. En una guía rectangular, sería el TE_0,1. Para aumentar dicho ancho de banda se utilizan otros tipos de guía, como la llamada "Double Ridge", con sección en forma de "H".

Desarrollo matemático

Suponiendo una guía en la dirección z, siendo una onda monocromática (único ${\displaystyle \omega }$ y constante) el campo que se propaga en el interior en la dirección de la guía será de la forma:

${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)=\mathbf {E} (x,y)e^{i(\beta _{z}z-\omega t)}\qquad y\qquad \mathbf {B} (x,y,z,t)=\mathbf {B} (x,y)e^{i(\beta _{z}z-\omega t)}}$

Suponiendo que en el interior no hay cargas ni corrientes libres las ecuaciones de Maxwell tomarán la forma:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu \epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

Y la ecuación de ondas aplicando la definición de los campos (el campo magnético tendría una forma análoga):

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\mathbf {E} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\mathbf {E} -\beta _{z}^{2}\mathbf {E} =\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\mathbf {E} =-\beta ^{2}\mathbf {E} }$

Definiendo:

${\displaystyle \nabla _{\bot }={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}\qquad {\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}=\beta ^{2}\qquad \beta _{c}^{2}=\beta ^{2}-\beta _{z}^{2}}$

se tiene que las ecuaciones toman la forma de la ecuación de Helmholtz:

${\displaystyle \nabla _{\bot }^{2}\mathbf {E} +\beta _{c}^{2}\mathbf {E} =0\qquad y\qquad \nabla _{\bot }^{2}\mathbf {B} +\beta _{c}^{2}\mathbf {B} =0}$

Descomponiendo el campo en componente longitudinal y transversal:

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\bot }+E_{z}\mathbf {\hat {z}} \qquad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\bot }+B_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

se puede separar de la ecuación de Helmholtz la componenete longitudinal obteniendo:

${\displaystyle \nabla _{\bot }^{2}E_{z}+\beta _{c}^{2}E_{z}=0\qquad y\qquad \nabla _{\bot }^{2}B_{z}+\beta _{c}^{2}B_{z}=0}$

La función ${\displaystyle E_{z}}$ o ${\displaystyle B_{z}}$ que cumple unas ciertas condiciones de contorno impuestas por el tipo de guía se denomina potencial de Debye.

Modos TE y TM

Se tratará el caso de un modo TE, para el caso del modo TM tan solo hay que intercambiar en las expresiones el campo eléctrico y magnético. En un modo TE se tiene que:

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\bot }\qquad \Rightarrow \qquad E_{z}=0\qquad y\qquad \nabla _{\bot }^{2}B_{z}+\beta _{c}^{2}B_{z}=0}$

También se tiene que:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla _{\bot }\cdot \mathbf {B} _{\bot }+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \nabla _{\bot }\cdot \mathbf {B} _{\bot }=-{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-i\beta _{z}B_{z}}$

${\displaystyle \nabla _{\bot }\times \mathbf {B} _{\bot }=\mu \epsilon E_{z}\mathbf {\mathbf {\hat {z}} } =0}$

de modo que:

${\displaystyle \nabla _{\bot }^{2}\mathbf {B} _{\bot }=\beta _{c}^{2}\mathbf {B} _{\bot }=\nabla _{\bot }\cdot (\nabla _{\bot }\mathbf {B} _{\bot })-\nabla _{\bot }\times (\nabla _{\bot }\times \mathbf {B} _{\bot })=-\nabla _{\bot }\beta _{z}B_{z}\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {B} _{\bot }=-{\frac {i\beta _{z}}{\beta _{c}^{2}}}\nabla _{\bot }B_{z}}$

El campo B longitudinal será la solución de la ecuación de Helmholtz y el campo transversal puede obtenerse a partir de la anterior expresión. El campo eléctrico vendrá dado por las ecuaciones de Maxwell. Dependiendo de la naturaleza de la guía,${\displaystyle B_{z}}$ o ${\displaystyle E_{z}}$ (cuyo desarrollo sería idéntico) han de cumplir unas ciertas condiciones de contorno.

Ondas Electromagneticas planas

 Las propiedades de las ondas electromagnéticas se pueden deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell. Un planteamiento para obtener estas propiedades es resolver la ecuación diferencial de segundo orden obtenida a partir de la tercera y cuarta ecuaciones de Maxwell.
Para una onda electromagnética que viaja en la dirección ${\displaystyle x}$ (la dirección de propagación), donde el campo eléctrico ${\displaystyle E}$ esta en la dirección y el campo magnético ${\displaystyle B}$ esta en la dirección ${\displaystyle z}$, tales ondas, en que los campos eléctricos y magnéticos se restringen a ser paralelos a un par de ejes perpendiculares, se dice que son ondas linealmente polarizadas.
Si la fuente de las ondas electromagnéticas es tal que una onda radiara desde cualquier posición en el plano ${\displaystyle yz}$ (no solo desde el origen) se propaga en la dirección ${\displaystyle x}$ y todas las ondas semejantes se emiten en fase. Si se define un rayo como la línea a lo largo de la cual viaja la onda, todos los rayos para estas ondas son paralelos. A esta colección completa de ondas con frecuencia se les llama onda plana. Una superficie que conecta los puntos de igual fase en todas las ondas en un plano geométrico denominado frente de onda. En comparación, una fuente puntual de radiación envía ondas radialmente en todas direcciones. Una superficie que conecta puntos de igual fase para esta situación es una esfera, así que onda se llama onda esférica.
Para generar la predicción de ondas electromagnéticas se parte de ley de Faraday:

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=-\ {d\Phi _{B} \over dt}}$

En un instante cuando una onda plana pasa a través de una trayectoria rectangular de ancho ${\displaystyle dx}$ que se encuentra en el planos ${\displaystyle xz}$, el campo magnético en dirección ${\displaystyle z}$ varia de

${\displaystyle {\vec {B}}}$ a ${\displaystyle {\vec {B}}+{\vec {db}}}$

Esta variación especial en ${\displaystyle {\vec {B}}}$ da origen a un campo eléctrico variable en el tiempo a lo largo de la dirección ${\displaystyle y}$ , de acuerdo a^:

${\displaystyle {\frac {\partial B}{\partial x}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\dfrac {\partial E}{\partial t}}}$